离散Riccati方程解关于采样周期的收敛性

作者：张苏杭 洛阳

摘要

本文给出离散代数Riccati方程（DARE）的解 P_h 当采样周期 h \to 0 时收敛到连续代数Riccati方程（CARE）的解 P_c 的一个自包含证明。在 (A,B) 可稳、 (Q^{1/2},A) 可检测的标准假设下，证明收敛速率 \|P_h - P_c\| = O(h) 。证明基于离散化矩阵的渐近展开、解的一致有界性、Riccati残差算子的Fréchet线性化，以及离散Lyapunov算子逆的范数估计。本文明确标注证明中依赖标准结果的部分，并指出收敛速率 O(h) 与离散化精度一致。

关键词：代数Riccati方程；离散时间系统；收敛性；采样周期；最优控制

一、引言与定理陈述

考虑连续时间线性时不变系统

\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t), \quad x(0)=x_0,

以及无穷时域二次代价

J_c = \int_0^\infty \big( x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t) \big) dt,

其中 Q \succeq 0 ， R \succ 0 。标准假设为： (A,B) 可稳， (Q^{1/2},A) 可检测。

连续代数Riccati方程（CARE）为

A^T P + P A - P B R^{-1} B^T P + Q = 0, \tag{1}

其存在唯一半正定稳定解 P_c ，即 A - B R^{-1} B^T P_c 是Hurwitz的。

对采样周期 h > 0 ，将系统离散化：

x_{k+1} = A_d x_k + B_d u_k,\quad A_d = e^{A h},\quad B_d = \int_0^h e^{A s} B\,ds,

离散代价

J_d = \sum_{k=0}^\infty \big( x_k^T Q_d x_k + u_k^T R u_k \big),\quad Q_d = \int_0^h e^{A^T s} Q e^{A s} ds.

离散代数Riccati方程（DARE）为

A_d^T P_h A_d - P_h - A_d^T P_h B_d (R + B_d^T P_h B_d)^{-1} B_d^T P_h A_d + Q_d = 0. \tag{2}

对于每个充分小的 h > 0 ，(2) 存在唯一半正定稳定解 P_h ，即 A_d - B_d K_h 谱半径小于1，其中 K_h = (R+B_d^T P_h B_d)^{-1} B_d^T P_h A_d 。

定理（主结果）：在可稳可检测假设下，当 h \to 0^+ 时，

\lim_{h \to 0^+} P_h = P_c, \qquad \|P_h - P_c\| = O(h).

关于结果新颖性的说明：离散Riccati方程到连续Riccati方程的收敛性，在采样系统与数字控制文献中已有讨论。本文的目的是给出一个自包含的证明，明确标注每一步所依赖的标准结果，并指出证明中需要额外验证的环节。本文不宣称收敛速率 O(h) 为首创。

二、预备引理：渐近展开

利用矩阵指数幂级数，可得以下一致展开（在算子范数意义下）：

\begin{aligned}
A_d &= I + A h + \tfrac12 A^2 h^2 + O(h^3),\\
B_d &= B h + \tfrac12 A B h^2 + O(h^3),\\
Q_d &= Q h + \tfrac12 (A^T Q + Q A) h^2 + O(h^3).
\end{aligned}

这些展开通过对指数级数逐项积分获得，余项为高阶无穷小。

三、第一步： P_h 的一致有界性

由 (A,B) 可稳，存在常数矩阵 K 使得 A - BK 是Hurwitz的。考虑离散化后的闭环矩阵：

A_d - B_d K = I + (A - BK)h + O(h^2).

由于 A-BK 的特征值实部均为负，当 h 充分小时， \rho(A_d - B_d K) < 1 ，即离散闭环指数稳定。

构造离散Lyapunov方程

(A_d - B_d K)^T \hat P_h (A_d - B_d K) - \hat P_h + (Q_d + K^T R K) = 0.

该方程存在唯一半正定解 \hat P_h 。由Lyapunov方程的扰动理论， \hat P_h 关于 h 一致有界：存在 h_0>0 和常数 M_1 ，使得 \|\hat P_h\| \le M_1 对所有 0<h\le h_0 成立。

因为 P_h 是离散LQR问题的最优代价矩阵，它满足半正定序

P_h \preceq \hat P_h,

因此 \|P_h\| \le M_1 。从而 \{P_h\}_{h\in(0,h_0]} 一致有界。

四、第二步：Riccati残差算子在 P_c 处的展开

定义离散Riccati残差算子

\mathcal{R}_h(P) := A_d^T P A_d - P + Q_d - A_d^T P B_d (R + B_d^T P B_d)^{-1} B_d^T P A_d.

DARE (2) 等价于 \mathcal{R}_h(P_h)=0 。

将 A_d, B_d, Q_d 的展开代入 \mathcal{R}_h(P_c) ，并利用CARE (1) 消去零阶项：

\begin{aligned}
A_d^T P_c A_d &= P_c + (A^T P_c + P_c A)h + O(h^2),\\
A_d^T P_c B_d &= P_c B h + O(h^2),\\
B_d^T P_c B_d &= h^2 B^T P_c B + O(h^3),\\
(R + B_d^T P_c B_d)^{-1} &= R^{-1} - h^2 R^{-1} B^T P_c B R^{-1} + O(h^3).
\end{aligned}

进而

A_d^T P_c B_d (R + B_d^T P_c B_d)^{-1} B_d^T P_c A_d = P_c B R^{-1} B^T P_c \cdot h + O(h^2).

同时 Q_d = Q h + O(h^2) 。于是

\begin{aligned}
\mathcal{R}_h(P_c) &= \big[P_c + (A^T P_c + P_c A)h\big] - P_c + Q h - P_c B R^{-1} B^T P_c h + O(h^2)\\
&= h\big(A^T P_c + P_c A - P_c B R^{-1} B^T P_c + Q\big) + O(h^2).
\end{aligned}

括号内恰为CARE的左端，等于零。因此

\mathcal{R}_h(P_c) = O(h^2). \tag{3}

五、第三步：线性化算子及其可逆性

记 E_h = P_h - P_c 。将 \mathcal{R}_h(P_c+E_h) 在 P_c 处进行Fréchet展开：

\mathcal{R}_h(P_c+E_h) = \mathcal{R}_h(P_c) + \mathcal{L}_h(E_h) + \mathcal{N}_h(E_h),

其中 \mathcal{L}_h = D\mathcal{R}_h(P_c) 是线性算子， \mathcal{N}_h(E_h) 满足 \|\mathcal{N}_h(E_h)\| \le C_N \|E_h\|^2 ，常数 C_N 与 h 无关。

5.1 线性化算子的显式形式

假设5.1（线性化展开）：通过直接计算（利用最优增益 K_c = R^{-1}B^T P_c 和离散闭环矩阵 A_{c,d} := A_d - B_d K_c ），可得

\mathcal{L}_h(\Delta) = A_{c,d}^T \Delta A_{c,d} - \Delta + h \Phi_h(\Delta),

其中 \Phi_h 是一族一致有界的线性算子，即存在常数 C_\Phi 使得 \|\Phi_h(\Delta)\| \le C_\Phi \|\Delta\| 对所有 h\in(0,h_0] 和所有对称 \Delta 成立。

说明：该展开可从Riccati线性化公式逐项展开并利用CARE消去零阶项得到。展开的详细代数步骤较长，本文将其列为假设5.1。若该假设成立，后续推导成立；若该假设不成立，则本文的收敛性证明需要修改。这是本文证明中最需要后续验证的环节。

5.2 离散Lyapunov算子及其逆范数估计

定义

\mathcal{L}_0(\Delta) = A_{c,d}^T \Delta A_{c,d} - \Delta,

则 \mathcal{L}_h = \mathcal{L}_0 + h \Phi_h 。

引理5.2（ \mathcal{L}_0 的逆范数估计）：设 A_{c,d} 的所有特征值均在单位圆内，且 A_{c,d} 可对角化或可Schur分解。则存在常数 \mu > 0 ，使得对充分小的 h ,

\|\mathcal{L}_0^{-1}\| \le \frac{C_L}{h},

其中 C_L 为与 h 无关的常数。

证明：由 A_{c,d} = I + A_c h + O(h^2) ，其中 A_c = A - BK_c 是Hurwitz的。设 A_c 的特征值为 \lambda_i ，实部均为负。则 A_{c,d} 的特征值为 e^{\lambda_i h} ，满足 |e^{\lambda_i h}| \le 1 - \mu_i h + O(h^2) ，其中 \mu_i = -\text{Re}(\lambda_i) > 0 。

离散Lyapunov算子 \mathcal{L}_0 在Kronecker积表示下，其特征值为 \overline{\lambda_i} \lambda_j - 1 ，其中 \lambda_i, \lambda_j 为 A_{c,d} 的特征值。因此

|\overline{\lambda_i} \lambda_j - 1| \ge 1 - |\lambda_i| |\lambda_j| \ge 1 - (1 - \mu_i h)(1 - \mu_j h) \ge (\mu_i + \mu_j) h + O(h^2).

令 \mu = \min_{i,j} (\mu_i + \mu_j) ，则 \mu > 0 ，且当 h 充分小时，

|\overline{\lambda_i} \lambda_j - 1| \ge \mu h.

因此 \mathcal{L}_0 的最小奇异值下界为 \mu h / C （ C 为与 h 无关的常数，取决于 A_{c,d} 的非正规性度量，例如特征向量矩阵的条件数）。于是

\|\mathcal{L}_0^{-1}\| \le \frac{C_L}{h},

其中 C_L = C / \mu 。∎

注：上述估计使用了 A_{c,d} 的特征值分解。若 A_{c,d} 不可对角化，则需用Schur分解和更精细的谱分离估计，结论形式相同，常数可能不同。

5.3 \mathcal{L}_h 的可逆性

由 \mathcal{L}_h = \mathcal{L}_0 + h\Phi_h ，有

\mathcal{L}_h = \mathcal{L}_0 \left( I + h \Phi_h \mathcal{L}_0^{-1} \right).

由 \|\mathcal{L}_0^{-1}\| \le C_L / h 和 \|\Phi_h\| \le C_\Phi ，得

\|h \Phi_h \mathcal{L}_0^{-1}\| \le h C_\Phi \cdot \frac{C_L}{h} = C_\Phi C_L.

取 h 充分小使得 C_\Phi C_L < 1 ，则 I + h\Phi_h \mathcal{L}_0^{-1} 可逆，且其逆的范数不超过 1/(1 - C_\Phi C_L) 。因此

\|\mathcal{L}_h^{-1}\| \le \frac{1}{1 - C_\Phi C_L} \cdot \frac{C_L}{h} = \frac{C_{\mathcal{L}}}{h}, \tag{4}

其中 C_{\mathcal{L}} = C_L / (1 - C_\Phi C_L) 。

六、第四步：误差方程与收敛阶

由 \mathcal{R}_h(P_h)=0 及展开式得

0 = \mathcal{R}_h(P_c) + \mathcal{L}_h(E_h) + \mathcal{N}_h(E_h),

即

\mathcal{L}_h(E_h) = -\mathcal{R}_h(P_c) - \mathcal{N}_h(E_h).

两边作用 \mathcal{L}_h^{-1} 并取范数：

\|E_h\| \le \|\mathcal{L}_h^{-1}\| \big( \|\mathcal{R}_h(P_c)\| + \|\mathcal{N}_h(E_h)\| \big).

代入已知估计： \|\mathcal{R}_h(P_c)\| \le C_R h^2 ， \|\mathcal{N}_h(E_h)\| \le C_N \|E_h\|^2 ， \|\mathcal{L}_h^{-1}\| \le C_{\mathcal{L}} / h 。于是

\|E_h\| \le \frac{C_{\mathcal{L}}}{h} \big( C_R h^2 + C_N \|E_h\|^2 \big) = C_{\mathcal{L}} C_R h + \frac{C_{\mathcal{L}} C_N}{h} \|E_h\|^2.

记 e_h = \|E_h\| ， a = C_{\mathcal{L}} C_R ， b = C_{\mathcal{L}} C_N ，则

e_h \le a h + \frac{b}{h} e_h^2. \tag{5}

由第一步一致有界性，存在常数 M 使得 e_h \le M 对所有 h\in(0,h_0] 成立。选择 h 充分小，使得 \frac{b M}{h} \le \frac12 ，例如 h \le 2b M 。则从(5)可得

e_h \le a h + \frac12 e_h \quad \Longrightarrow \quad \frac12 e_h \le a h \quad \Longrightarrow \quad e_h \le 2a h.

因此 \|P_h - P_c\| = e_h = O(h) 。收敛性成立。

七、结论

在标准的可稳可检测假设下，本文证明了离散代数Riccati方程的唯一半正定稳定解 P_h 当采样周期 h \to 0 时收敛到连续代数Riccati方程的解 P_c ，且收敛速率至少为 O(h) 。该速率与离散化本身的精度一致。

本文证明中的待验证环节：

1. 假设5.1：线性化算子 \mathcal{L}_h 的展开形式 \mathcal{L}_h = \mathcal{L}_0 + h\Phi_h ，其中 \Phi_h 一致有界。这一步的详细代数验证留作后续工作。
2. 引理5.2： \mathcal{L}_0^{-1} 的范数估计使用了 A_{c,d} 的特征值分解。若 A_{c,d} 不可对角化，需用Schur分解或更精细的谱分离估计，结论形式相同但常数可能不同。

关于结果新颖性的说明：离散Riccati方程到连续Riccati方程的收敛性，在采样系统与数字控制文献中已有讨论。本文的目的是给出一个自包含的证明，明确标注每一步所依赖的标准结果与待验证环节。本文不宣称收敛速率 O(h) 为首创。

参考文献

略